Задача №1939
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{\arcsin\tg{x}}{\cos^2{x}}dx\).
Решение
\[
\int\frac{\arcsin\tg{x}}{\cos^2{x}}dx
=[t=\tg{x}]
=\int\arcsin{t}dt
=\left[\begin{aligned}
& u=\arcsin{t};\;du=\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}};\\
& dv=dt;\;v=t.
\end{aligned}\right]=\\
=t\arcsin{t}-\int\frac{tdt}{\sqrt{1-t^2}}
=t\arcsin{t}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(1-t^2\right)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C
=\tg{x}\cdot\arcsin\left(\tg{x}\right)+\sqrt{1-\tg^2{x}}+C.
\]
Ответ:
\(\tg{x}\cdot\arcsin\left(\tg{x}\right)+\sqrt{1-\tg^2{x}}+C\)