190-05-3

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №190 параграфа №5 "Интегрирование разных функций" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №2, 2003 г.).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{\arcsin\tg{x}}{\cos^2{x}}dx[/math].

Решение

[dmath] \int\frac{\arcsin\tg{x}}{\cos^2{x}}dx =[t=\tg{x}] =\int\arcsin{t}dt =\left[\begin{aligned} & u=\arcsin{t};\;du=\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}};\\ & dv=dt;\;v=t. \end{aligned}\right]=\\ =t\arcsin{t}-\int\frac{tdt}{\sqrt{1-t^2}} =t\arcsin{t}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(1-t^2\right)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C =\tg{x}\cdot\arcsin\left(\tg{x}\right)+\sqrt{1-\tg^2{x}}+C. [/dmath]

Ответ

[math]\tg{x}\cdot\arcsin\left(\tg{x}\right)+\sqrt{1-\tg^2{x}}+C[/math]