Задача №1456
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{dx}{\sqrt{\left(x^2-a^2\right)^3}}\).
Решение
Осуществим подстановку \(x=\frac{|a|}{\cos{t}}\), где \(t\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right)\). Условие \(t\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right)\) означает, что первообразную будем искать при \(x\gt|a|\). Разумеется, ещё остаётся случай \(x\lt-|a|\), однако этот вариант рассматривается аналогично.
\[
\int\frac{dx}{\sqrt{\left(x^2-a^2\right)^3}}
=\left|\begin{aligned}&x=\frac{|a|}{\cos{t}};\;dx=\frac{|a|\sin{t}dt}{\cos^2{t}}.\\&\sqrt{\left(x^2-a^2\right)^3}=|a|^3\tg^3{t}=\frac{|a|^3\sin^3{t}}{\cos^3{t}}.\end{aligned}\right|
=\frac{1}{a^2}\int\frac{\cos{t}dt}{\sin^2{t}}=\\
=\frac{1}{a^2}\int\left(\sin{t}\right)^{-2}d(\sin{t})
=-\frac{1}{a^2\sin{t}}+C
=-\frac{1}{a^2\sqrt{1-\cos^2{t}}}+C
=-\frac{x}{a^2\sqrt{x^2-a^2}}+C
\]
Ответ:
\(-\frac{x}{a^2\sqrt{x^2-a^2}}+C\)