1899-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1899 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{\sqrt{\left(x^2-a^2\right)^3}}[/math].

Решение

Осуществим подстановку [math]x=\frac{|a|}{\cos{t}}[/math], где [math]t\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right)[/math]. Условие [math]t\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right)[/math] означает, что первообразную будем искать при [math]x>|a|[/math]. Разумеется, ещё остаётся случай [math]x<-|a|[/math], однако этот вариант рассматривается аналогично.

[math] \int\frac{dx}{\sqrt{\left(x^2-a^2\right)^3}} =\left|\begin{aligned}&x=\frac{|a|}{\cos{t}};\;dx=\frac{|a|\sin{t}dt}{\cos^2{t}}.\\&\sqrt{\left(x^2-a^2\right)^3}=|a|^3\tg^3{t}=\frac{|a|^3\sin^3{t}}{\cos^3{t}}.\end{aligned}\right| =\frac{1}{a^2}\int\frac{\cos{t}dt}{\sin^2{t}}=\\ =\frac{1}{a^2}\int\left(\sin{t}\right)^{-2}d(\sin{t}) =-\frac{1}{a^2\sin{t}}+C =-\frac{1}{a^2\sqrt{1-\cos^2{t}}}+C =-\frac{x}{a^2\sqrt{x^2-a^2}}+C [/math]

Ответ

[math]-\frac{x}{a^2\sqrt{x^2-a^2}}+C[/math]