1898-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1898 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{x\sqrt{1+x^2}}[/math].

Решение

Рассмотрим подстановку [math]x=\frac{1}{t}[/math]. В принципе, нужно рассмотреть эту подстановку для двух случаев: [math]t\gt{0}[/math] и [math]t\lt{0}[/math], однако оба эти случая легко свести в одну запись с помощью функции знака [math]\sgn{t}[/math]. Для демонстрации ниже я разберу решение для двух случаев по отдельности: [math]t\lt{0}[/math] и [math]t\gt{0}[/math], однако пока что полагаем просто [math]t\neq{0}[/math].

Так как [math]dx=-\frac{dt}{t^2}[/math], то получим:

[math] \int\frac{dx}{x\sqrt{1+x^2}} =\int\frac{-\frac{dt}{t^2}}{\frac{1}{t}\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}} =-\int\frac{dt}{t\cdot\frac{\sqrt{1+t^2}}{|t|}} =-\sgn{t}\int\frac{dt}{\sqrt{t^2+1}}=\\ =-\int\frac{d(|t|)}{\sqrt{|t|^2+1}} =-\ln\left||t|+\sqrt{|t|^2+1}\right|+C =-\ln\left|\frac{1}{|x|}+\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}\right|+C =\ln\frac{|x|}{1+\sqrt{1+x^2}}+C [/math]

Теперь рассмотрим случай применения подстановки [math]x=\frac{1}{t}[/math] сначала для [math]t\gt{0}[/math], а потом при [math]t\lt{0}[/math]. Итак, если [math]t\gt{0}[/math], то получим:

[math] \int\frac{dx}{x\sqrt{1+x^2}} =\left|\begin{aligned}&x=\frac{1}{t}.\\&dx=-\frac{dt}{t^2}.\end{aligned}\right| =\int\frac{-\frac{dt}{t^2}}{\frac{1}{t}\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}} =-\int\frac{dt}{\sqrt{t^2+1}}=\\ =-\ln\left|t+\sqrt{t^2+1}\right|+C =-\ln\left|\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}\right|+C =\ln\frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}+C [/math]

Для случая [math]t\lt{0}[/math] будем иметь:

[math] \ldots=\int\frac{-\frac{dt}{t^2}}{\frac{1}{t}\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}} =\int\frac{dt}{-t\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}} =\int\frac{dt}{\sqrt{t^2}\cdot\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}} =\int\frac{dt}{\sqrt{t^2+1}}=\\ =\ln\left|\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}\right|+C =\ln\left|\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1+x^2}}{|x|}\right|+C =\ln\left|\frac{1}{x}-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}\right|+C=\\ =\ln\left|\frac{1}{x}-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}\right|+C =\ln\left|\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x}\right|+C =\ln\left|\frac{\left(1-\sqrt{1+x^2}\right)\cdot\left(1+\sqrt{1+x^2}\right)}{x\cdot\left(1+\sqrt{1+x^2}\right)}\right|+C=\\ =\ln\left|\frac{x^2}{x\cdot\left(1+\sqrt{1+x^2}\right)}\right|+C =\ln\frac{|x|}{1+\sqrt{1+x^2}}+C [/math]

Так как при [math]x>0[/math] имеем [math]|x|=x[/math], то оба ответа легко записать в один:

[math] \int\frac{dx}{x\sqrt{1+x^2}} =\ln\frac{|x|}{1+\sqrt{1+x^2}}+C [/math]

К слову, рассмотренная выше подстановка – не единственный вариант решения. Можно было положить [math]t=\sqrt{x^2+1}[/math], тогда исходя из [math]t^2=x^2+1[/math] получили бы [math]xdx=tdt[/math].

[dmath] \int\frac{dx}{x\sqrt{1+x^2}} =\int\frac{xdx}{x^2\sqrt{1+x^2}} =\int\frac{dt}{t^2-1} =\ldots [/dmath]

Можно было использовать и подстановку [math]x=\tg{t}[/math].

Ответ

[math]\ln\frac{|x|}{1+\sqrt{1+x^2}}+C[/math]