1897-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1897 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-9}}[/math].

Решение

Подынтегральная функция определена и непрерывна при [math]|x|\gt{3}[/math]. Соответственно, подстановку [math]x=\frac{3}{t}[/math], которую мы станем использовать, надо рассматривать при [math]t\in(-1;0)[/math] и [math]t\in(0;1)[/math]. Например, при [math]t\in(0;1)[/math] получим такое решение:

[dmath] \int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-9}} =\left|\begin{aligned}&x=\frac{3}{t}.\\&dx=-\frac{3dt}{t^2}.\end{aligned}\right| =-\int\frac{-\frac{3dt}{t^2}}{\frac{9}{t^2}\cdot\sqrt{\frac{9}{t^2}-9}} =-\frac{1}{9}\int\frac{tdt}{\sqrt{1-t^2}}=\\ =\frac{1}{18}\int\left(1-t^2\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(1-t^2\right) =\frac{\left(1-t^2\right)^{\frac{1}{2}}}{9}+C =\frac{\sqrt{1-\frac{9}{x^2}}}{9}+C =\frac{\sqrt{x^2-9}}{9x}+C [/dmath]

Однако чтобы не заниматься двойной работой, проще объединить две записи решения (при положительном и отрицательном [math]t[/math]) в одну:

[dmath] \int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-9}} =\left|\begin{aligned}&x=\frac{3}{t}.\\&dx=-\frac{3dt}{t^2}.\end{aligned}\right| =-\int\frac{-\frac{3dt}{t^2}}{\frac{9}{t^2}\cdot\sqrt{\frac{9}{t^2}-9}} =-\frac{\sgn{t}}{9}\int\frac{tdt}{\sqrt{1-t^2}}=\\ =\frac{\sgn{t}}{18}\int\left(1-t^2\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(1-t^2\right) =\sgn{t}\cdot\frac{\left(1-t^2\right)^{\frac{1}{2}}}{9}+C =\sgn{x}\cdot\frac{\sqrt{1-\frac{9}{x^2}}}{9}+C =\frac{\sqrt{x^2-9}}{9x}+C [/dmath]

Ответ

[math]\frac{\sqrt{x^2-9}}{9x}+C[/math]