1895-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1895 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{\sqrt{\left(a^2+x^2\right)^3}}[/math].

Решение

[math] \int\frac{dx}{\sqrt{\left(a^2+x^2\right)^3}} =\left|\begin{aligned}&x=|a|\tg{t}.\\&dx=\frac{|a|dt}{\cos^2{t}}.\end{aligned}\right| =\int\frac{|a|dt}{\cos^2{t}\cdot\frac{|a|^3}{\cos^3{t}}} =\frac{1}{a^2}\int\cos{t}dt=\\ =\frac{\sin{t}}{a^2}+C =\frac{\tg{t}}{a\sqrt{1+\tg^2{t}}}+C =\frac{x}{a^2\sqrt{1+\frac{x^2}{a^2}}}+C =\frac{x}{a^2\sqrt{a^2+x^2}}+C [/math]

Ответ

[math]\frac{x}{a^2\sqrt{a^2+x^2}}+C[/math]