1894-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1894 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2}dx[/math].

Решение

[math] \int\frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2}dx =\left|\begin{aligned}&x=\sin{t}.\\&dx=\cos{t}dt.\end{aligned}\right| =\int\frac{\cos{t}\cdot\cos{t}dt}{\sin^2{t}} =\int\frac{\cos^2{t}dt}{\sin^2{t}} =\int\frac{1-\sin^2{t}}{\sin^2{t}}dt =\int\left(\frac{1}{\sin^2{t}}-1\right)dt=\\ =-\ctg{t}-t+C =-\frac{\cos{t}}{\sin{t}}-t+C =-\frac{\sqrt{1-\sin^2{t}}}{\sin{t}}-t+C =-\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}-\arcsin{x}+C [/math]

Ответ

[math]-\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}-\arcsin{x}+C[/math]