1893-1

Информация о задаче

Задача №1893 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{\sqrt{1+x^2}}{x^4}dx[/math].

Решение

Подстановку [math]x=\frac{1}{t}[/math], которую мы станем применять, надо рассматривать на двух интервалах: [math]t\in(-\infty;0)[/math] и [math]t\in(0;+\infty)[/math]. Это не столь сложно сделать. Например, при [math]t\gt{0}[/math] получим такое решение:

[dmath] \int\frac{\sqrt{1+x^2}}{x^4}dx =\left|\begin{aligned}&x=\frac{1}{t}.\\&dx=-\frac{dt}{t^2}.\end{aligned}\right| =\int\frac{\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}\cdot\left(-\frac{1}{t^2}\right)}{\frac{1}{t^4}}dt =-\int{t}\sqrt{1+t^2}dt=\\ =-\frac{1}{2}\int\left(1+t^2\right)^{\frac{1}{2}}d\left(1+t^2\right) =-\frac{\left(1+t^2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+C =-\frac{\sqrt{\left(1+x^2\right)^3}}{3x^3}+C [/dmath]

Решение при [math]t\lt{0}[/math] будет полностью аналогичным. Однако с помощью функции знака [math]\sgn{t}[/math] оба решения можно представить одной записью:

[dmath] \int\frac{\sqrt{1+x^2}}{x^4}dx =\left|\begin{aligned}&x=\frac{1}{t}.\\&dx=-\frac{dt}{t^2}.\end{aligned}\right| =\int\frac{\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}\cdot\left(-\frac{1}{t^2}\right)}{\frac{1}{t^4}}dt =-\sgn{t}\cdot\int{t}\sqrt{1+t^2}dt=\\ =-\frac{\sgn{t}}{2}\int\left(1+t^2\right)^{\frac{1}{2}}d\left(1+t^2\right) =-\frac{\sgn{t}\left(1+t^2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+C =-\frac{\sgn{x}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+C =-\frac{\sqrt{\left(1+x^2\right)^3}}{3x^3}+C [/dmath]

Ответ

[math]-\frac{\sqrt{\left(1+x^2\right)^3}}{3x^3}+C[/math]