1892-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1892 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-a^2}}[/math].

Решение

Случай [math]a=0[/math] рассматривается элементарно (см. начало 1890-1), поэтому перейдём к варианту [math]a\neq{0}[/math]. Подынтегральная функция определена и непрерывна при [math]|x|\gt|a|[/math], поэтому подстановка [math]x=\frac{|a|}{t}[/math], которую мы применим, должна рассматриваться на двух интервалах: [math]t\in(-1;0)[/math] и [math]t\in(0;1)[/math]. Можно, разумеется, сделать два решения по отдельности. Например, при [math]t\in(0;1)[/math] получим:


[dmath] \int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-a^2}} =\left|\begin{aligned}&x=\frac{|a|}{t}.\\&dx=-\frac{|a|}{t^2}dt.\end{aligned}\right| =\int\frac{\left(-\frac{|a|}{t^2}\right)dt}{\frac{|a|}{t}\cdot\sqrt{\frac{a^2}{t^2}-a^2}}=\\ =-\frac{1}{|a|}\int\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} =-\frac{1}{|a|}\arcsin{t}+C =-\frac{1}{|a|}\arcsin\frac{|a|}{x}+C [/dmath]

Однако проще не рассматривать два варианта значений [math]t[/math], а оформить два решения в виде одной записи с помощью функции знака [math]\sgn{t}[/math].

[dmath] \int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-a^2}} =\left|\begin{aligned}&x=\frac{|a|}{t}.\\&dx=-\frac{|a|}{t^2}dt.\end{aligned}\right| =\int\frac{\left(-\frac{|a|}{t^2}\right)dt}{\frac{|a|}{t}\cdot\sqrt{\frac{a^2}{t^2}-a^2}}=\\ =-\frac{\sgn{t}}{|a|}\int\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} =-\frac{\sgn{t}}{|a|}\arcsin{t}+C =-\frac{\sgn{x}}{|a|}\arcsin\frac{|a|}{x}+C =-\frac{1}{|a|}\arcsin\left|\frac{a}{x}\right|+C [/dmath]

К слову, записанные выше преобразования можно выполнить и в такой форме:

[dmath] \ldots=-\frac{\sgn{t}}{|a|}\int\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} =-\frac{1}{|a|}\int\frac{d(|t|)}{\sqrt{1-|t|^2}} =-\frac{1}{|a|}\arcsin|t|+C =\ldots [/dmath]

Ответ

[math]-\frac{1}{|a|}\arcsin\left|\frac{a}{x}\right|+C[/math]