Задача №1449
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-a^2}}\).
Решение
Случай \(a=0\) рассматривается элементарно (см. начало [[1890-1]]), поэтому перейдём к варианту \(a\neq{0}\). Подынтегральная функция определена и непрерывна при \(|x|\gt|a|\), поэтому подстановка \(x=\frac{|a|}{t}\), которую мы применим, должна рассматриваться на двух интервалах: \(t\in(-1;0)\) и \(t\in(0;1)\). Можно, разумеется, сделать два решения по отдельности. Например, при \(t\in(0;1)\) получим:
\[
\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-a^2}}
=\left|\begin{aligned}&x=\frac{|a|}{t}.\\&dx=-\frac{|a|}{t^2}dt.\end{aligned}\right|
=\int\frac{\left(-\frac{|a|}{t^2}\right)dt}{\frac{|a|}{t}\cdot\sqrt{\frac{a^2}{t^2}-a^2}}=\\
=-\frac{1}{|a|}\int\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}
=-\frac{1}{|a|}\arcsin{t}+C
=-\frac{1}{|a|}\arcsin\frac{|a|}{x}+C
\]
Однако проще не рассматривать два варианта значений \(t\), а оформить два решения в виде одной записи с помощью функции знака \(\sgn{t}\).
\[
\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-a^2}}
=\left|\begin{aligned}& x=\frac{|a|}{t}.\\& dx=-\frac{|a|}{t^2}dt.\end{aligned}\right|
=\int\frac{\left(-\frac{|a|}{t^2}\right)dt}{\frac{|a|}{t}\cdot\sqrt{\frac{a^2}{t^2}-a^2}}=\\
=-\frac{\sgn{t}}{|a|}\int\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}
=-\frac{\sgn{t}}{|a|}\arcsin{t}+C
=-\frac{\sgn{x}}{|a|}\arcsin\frac{|a|}{x}+C
=-\frac{1}{|a|}\arcsin\left|\frac{a}{x}\right|+C
\]
К слову, записанные выше преобразования можно выполнить и в такой форме:
\[
\ldots=-\frac{\sgn{t}}{|a|}\int\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}
=-\frac{1}{|a|}\int\frac{d(|t|)}{\sqrt{1-|t|^2}}
=-\frac{1}{|a|}\arcsin|t|+C
=\ldots
\]
Ответ:
\(-\frac{1}{|a|}\arcsin\left|\frac{a}{x}\right|+C\)