Задача №1448
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{x^2dx}{\sqrt{a^2-x^2}}\).
Решение
Осуществим замену \(x=|a|\sin{t}\), причём \(t\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\). Так как на указанном интервале \(\cos{t}\gt{0}\), то для данной замены получим:
\[
\sqrt{a^2-x^2}=|a|\cdot\sqrt{1-\sin^2{t}}=|a|\cdot|\cos{t}|=|a|\cos{t}.
\]
Возвращаясь к исходному интегралу, получим:
\[
\int\frac{x^2dx}{\sqrt{a^2-x^2}}
=\left|\begin{aligned}& x=|a|\sin{t}.\\& dx=|a|\cos{t}dt.\end{aligned}\right|
=\int\frac{a^2\sin^2{t}\cdot{|a|}\cos{t}dt}{|a|\cos{t}}=\\
=a^2\int\sin^2{t}dt
=\frac{a^2}{2}\cdot\int\left(1-\cos{2t}\right)
=\frac{a^2}{2}\cdot\left(t-\frac{\sin{2t}}{2}\right)+C=\\
=\frac{a^2}{2}\cdot\left(t-\sin{t}\cos{t}\right)+C
=\frac{a^2}{2}\cdot\left(t-\sin{t}\sqrt{1-\sin^2{t}}\right)+C=\\
=\frac{a^2}{2}\cdot\left(\arcsin\frac{x}{|a|}-\frac{x}{|a|}\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\right)+C
=\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{|a|}-\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+C
\]
Ответ:
\(\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{|a|}-\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+C\)