1891-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1891 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{x^2dx}{\sqrt{a^2-x^2}}[/math].

Решение

Осуществим замену [math]x=|a|\sin{t}[/math], причём [math]t\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)[/math]. Так как на указанном интервале [math]\cos{t}>0[/math], то для данной замены получим:

[math] \sqrt{a^2-x^2}=|a|\cdot\sqrt{1-\sin^2{t}}=|a|\cdot|\cos{t}|=|a|\cos{t}. [/math]

Возвращаясь к исходному интегралу, получим:

[math] \int\frac{x^2dx}{\sqrt{a^2-x^2}} =\left|\begin{aligned}&x=|a|\sin{t}.\\&dx=|a|\cos{t}dt.\end{aligned}\right| =\int\frac{a^2\sin^2{t}\cdot{|a|}\cos{t}dt}{|a|\cos{t}}=\\ =a^2\int\sin^2{t}dt =\frac{a^2}{2}\cdot\int\left(1-\cos{2t}\right) =\frac{a^2}{2}\cdot\left(t-\frac{\sin{2t}}{2}\right)+C=\\ =\frac{a^2}{2}\cdot\left(t-\sin{t}\cos{t}\right)+C =\frac{a^2}{2}\cdot\left(t-\sin{t}\sqrt{1-\sin^2{t}}\right)+C=\\ =\frac{a^2}{2}\cdot\left(\arcsin\frac{x}{|a|}-\frac{x}{|a|}\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\right)+C =\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{|a|}-\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+C [/math]

Ответ

[math]\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{|a|}-\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+C[/math]