1890-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1890 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+a^2}}[/math].

Решение

Случай [math]a=0[/math] довольно тривиален и разбирается быстро. Для [math]x\neq{0}[/math] получим:

[math] \frac{1}{x^2\sqrt{x^2+a^2}} =\frac{1}{x^2\sqrt{x^2}} =\frac{1}{x^2\cdot|x|} =\frac{1}{x^2\cdot\sgn{x}\cdot{x}} =\frac{1}{\sgn{x}\cdot{x^3}} [/math]

Если [math]x<0[/math], то:

[math] \int\frac{dx}{\sgn{x}\cdot{x^3}} =-\int\frac{dx}{x^3} =\frac{1}{2x^2}+C [/math]

Если [math]x>0[/math], то:

[math] \int\frac{dx}{\sgn{x}\cdot{x^3}} =\int\frac{dx}{x^3} =-\frac{1}{2x^2}+C [/math]

Если же [math]a\neq{0}[/math], то в задачнике предлагаются три замены на выбор. Применим первую: [math]x=\frac{|a|}{z}[/math]. Отмечу, что в задачнике эта подстановка указана как [math]x=\frac{a}{z}[/math], однако я предпочту записать в числителе именно [math]|a|[/math]. Дело в том, что в дальнейшем решении нам понадобится извлекать корень из [math]a^2[/math]. Так как знак параметра [math]a[/math] в условии не определён, то придётся записать в общем виде [math]\sqrt{a^2}=|a|[/math]. Если мы укажем подстановку в виде [math]x=\frac{|a|}{z}[/math], то выражение [math]|a|[/math] благополучно сократится. Кроме того, так как [math]|a|>0[/math] (случай [math]a=0[/math] мы уже рассмотрели), то знаки переменных [math]x[/math] и [math]z[/math] совпадают, т.е. [math]\sgn{x}=\sgn{z}[/math].

Сделаю ещё одно лирическое отступление: указанную подстановку нужно рассматривать на интервалах [math]z\in(-\infty;0)[/math] и [math]z\in(0;+\infty)[/math]. Однако две записи решения можно объединить в одну с помощью функции знака [math]\sgn{z}[/math]. В конце решения будет учтено равенство [math]\frac{\sgn{x}}{|x|}=\frac{1}{x}[/math].

[math] \int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+a^2}} =\left|\begin{aligned}&x=\frac{|a|}{z};\\&dx=-\frac{|a|dz}{z^2}.\end{aligned}\right| =-\int\frac{|a|dz}{z^2\cdot\frac{a^2}{z^2}\cdot\sqrt{\frac{a^2}{z^2}+a^2}} =-\frac{1}{a^2}\int\frac{|z|dz}{\sqrt{z^2+1}}=\\ =-\frac{\sgn{z}}{a^2}\cdot\int\frac{zdz}{\sqrt{z^2+1}} =-\frac{\sgn{z}}{2a^2}\cdot\int\left(z^2+1\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(z^2+1\right)=\\ =-\frac{\sgn{z}}{2a^2}\cdot\frac{\left(z^2+1\right)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C =-\frac{\sgn{z}}{a^2}\cdot\sqrt{1+z^2}+C =-\frac{\sgn{x}}{a^2\cdot|x|}\cdot\sqrt{1+x^2}+C =-\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a^2x}+C [/math]

Ответ

[math]\int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+a^2}}=-\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a^2x}+C[/math]