Задача №1447
Найти интеграл \(\int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+a^2}}\).
Случай \(a=0\) довольно тривиален и разбирается быстро. Для \(x\neq{0}\) получим:
Если \(x\lt{0}\), то:
Если \(x\gt{0}\), то:
Если же \(a\neq{0}\), то в задачнике предлагаются три замены на выбор. Применим первую: \(x=\frac{|a|}{z}\). Отмечу, что в задачнике эта подстановка указана как \(x=\frac{a}{z}\), однако я предпочту записать в числителе именно \(|a|\). Дело в том, что в дальнейшем решении нам понадобится извлекать корень из \(a^2\). Так как знак параметра \(a\) в условии не определён, то придётся записать в общем виде \(\sqrt{a^2}=|a|\). Если мы укажем подстановку в виде \(x=\frac{|a|}{z}\), то выражение \(|a|\) благополучно сократится.
Кроме того, так как \(|a|\gt{0}\) (случай \(a=0\) мы уже рассмотрели), то знаки переменных \(x\) и \(z\) совпадают, т.е. \(\sgn{x}=\sgn{z}\).
Сделаю ещё одно лирическое отступление: указанную подстановку нужно рассматривать на интервалах \(z\in(-\infty;0)\) и \(z\in(0;+\infty)\). Однако две записи решения можно объединить в одну с помощью функции знака \(\sgn{z}\). В конце решения будет учтено равенство \(\frac{\sgn{x}}{|x|}=\frac{1}{x}\).