1889-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1889 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{x^5dx}{\left(x^2-4\right)^2}[/math].

Решение

[math] \int\frac{x^5dx}{\left(x^2-4\right)^2} =\int\frac{x^4\cdot{xdx}}{\left(x^2-4\right)^2} =\frac{1}{2}\int\frac{\left(x^2\right)^2\cdot{d\left(x^2\right)}}{\left(x^2-4\right)^2} =\left|u=x^2\right| =\frac{1}{2}\int\frac{u^2du}{\left(u-4\right)^2} =\frac{1}{2}\int\frac{u^2-16+16}{(u-4)^2}du=\\ =\frac{1}{2}\int\frac{(u-4)(u+4)+16}{(u-4)^2}du =\frac{1}{2}\int\left(\frac{u+4}{u-4}+\frac{16}{(u-4)^2}\right)du =\frac{1}{2}\int\left(\frac{u-4+8}{u-4}+\frac{16}{(u-4)^2}\right)du=\\ =\frac{1}{2}\int\left(1+\frac{8}{u-4}+\frac{16}{(u-4)^2}\right)du =\frac{1}{2}\cdot\left(u+8\ln|u-4|-\frac{16}{u-4}\right)+C=\\ =\frac{1}{2}\cdot\left(x^2+8\ln\left|x^2-4\right|-\frac{16}{x^2-4}\right)+C =\frac{x^2}{2}+4\ln\left|x^2-4\right|-\frac{8}{x^2-4}+C [/math]

Ответ

[math]\frac{x^2}{2}+4\ln\left|x^2-4\right|-\frac{8}{x^2-4}+C[/math]