1888-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1888 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{x^5dx}{\sqrt{a^3-x^3}}[/math].

Решение

[math] \int\frac{x^5dx}{\sqrt{a^3-x^3}} =\int\frac{x^3\cdot{x^2}dx}{\sqrt{a^3-x^3}} =\left|\begin{aligned}&u=\sqrt{a^3-x^3};\;x^3=a^3-u^2.\\&3x^2dx=-2udu;\;x^2dx=-\frac{2udu}{3}.\end{aligned}\right|=\\ =-\frac{2}{3}\cdot\int\frac{t\cdot\left(a^3-u^2\right)du}{u} =-\frac{2}{3}\cdot\int\left(a^3-u^3\right)dt =-\frac{2}{3}\cdot\left(a^3u-\frac{u^3}{3}\right)+C=\\ =-\frac{2u}{9}\cdot\left(3a^3-u^2\right)+C =-\frac{2\sqrt{a^3-x^3}}{9}\cdot\left(3a^3-\left(a^3-x^3\right)\right)+C =-\frac{2\sqrt{a^3-x^3}}{9}\cdot\left(x^3+2a^3\right)+C. [/math]

Ответ

[math]-\frac{2\sqrt{a^3-x^3}}{9}\cdot\left(x^3+2a^3\right)+C[/math]