1886-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1886 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\sqrt{1+\cos^2{x}}\sin{2x}\cos{2x}dx[/math].

Решение

[math] \int\sqrt{1+\cos^2{x}}\sin{2x}\cos{2x}dx =\left|\begin{aligned}&u=\sqrt{1+\cos^2{x}};\;1+\cos^2{x}=u^2.\\&-2\sin{x}\cos{x}dx=2udu;\;\sin{2x}=-2udu.\\&\cos{2x}=2\cos^2{x}-1=2\cdot\left(u^2-1\right)-1=2u^2-3.\end{aligned}\right|=\\ =-\int{2u^2\left(2u^2-3\right)du} =\int\left(-4u^4+6u^2\right)du =-\frac{4u^5}{5}+2u^3+C =u^3\cdot\left(-\frac{4u^2}{5}+2\right)+C=\\ =\sqrt{\left(1+\cos^2{x}\right)^3}\cdot\left(-\frac{4\cdot\left(1+\cos^2{x}\right)}{5}+2\right) =\frac{2}{5}\cdot\sqrt{\left(1+\cos^2{x}\right)^3}\cdot\left(3-2\cos^2{x}\right)+C. [/math]

Ответ

[math]\frac{2}{5}\cdot\sqrt{\left(1+\cos^2{x}\right)^3}\cdot\left(3-2\cos^2{x}\right)+C[/math]