1885-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1885 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{\sqrt{1+\ln{x}}}{x\ln{x}}dx[/math].

Решение

[math] \int\frac{\sqrt{1+\ln{x}}}{x\ln{x}}dx =\left|\begin{aligned}&u=\sqrt{1+\ln{x}};\;1+\ln{x}=u^2.\\&\frac{dx}{x}=2udu.\end{aligned}\right| =2\int\frac{u^2du}{u^2-1} =2\int\left(1+\frac{1}{u^2-1}\right)dt=\\ =2u+\ln\left|\frac{u-1}{u+1}\right|+C =2\sqrt{1+\ln{x}}+\ln\left|\frac{\sqrt{1+\ln{x}}-1}{\sqrt{1+\ln{x}}+1}\right|+C [/math]

В принципе, можно преобразовать полученный результат, немного упростив вид ответа. Если вас интересует такое упрощение, домножьте выражение в знаменателе на сопряжённое.

Ответ

[math]2\sqrt{1+\ln{x}}+\ln\left|\frac{\sqrt{1+\ln{x}}-1}{\sqrt{1+\ln{x}}+1}\right|+C[/math]