1885-1
Информация о задаче
Задача №1885 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\frac{\sqrt{1+\ln{x}}}{x\ln{x}}dx[/math].
Решение
[dmath] \int\frac{\sqrt{1+\ln{x}}}{x\ln{x}}dx =\left[\begin{aligned}& u=\sqrt{1+\ln{x}};\;1+\ln{x}=u^2.\\& \frac{dx}{x}=2udu.\end{aligned}\right] =2\int\frac{u^2du}{u^2-1}=\\ =2\int\left(1+\frac{1}{u^2-1}\right)dt =2u+\ln\left|\frac{u-1}{u+1}\right|+C =2\sqrt{1+\ln{x}}+\ln\left|\frac{\sqrt{1+\ln{x}}-1}{\sqrt{1+\ln{x}}+1}\right|+C [/dmath]
В принципе, можно преобразовать полученный результат, немного упростив вид ответа. Если вас интересует такое упрощение, домножьте выражение в знаменателе на сопряжённое.
Ответ
[math]2\sqrt{1+\ln{x}}+\ln\left|\frac{\sqrt{1+\ln{x}}-1}{\sqrt{1+\ln{x}}+1}\right|+C[/math]
