1884-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1884 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{\sqrt{1+e^x}}[/math].

Решение

[math] \int\frac{dx}{\sqrt{1+e^x}} =\left|\begin{aligned}&u=\sqrt{1+e^x};\;x=\ln\left(u^2-1\right).\\&dx=\frac{2udu}{u^2-1}.\end{aligned}\right|=\\ =\int\frac{2tdt}{t\cdot\left(t^2-1\right)} =2\int\frac{dt}{t^2-1} =\ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right|+C =\ln\left|\frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}\right|+C [/math]

Ввиду того, что [math]\sqrt{1+e^x}>1[/math], имеем [math]\sqrt{1+e^x}-1>0[/math]. Следовательно, знак модуля можно опустить:

[math] \ln\left|\frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}\right|+C =\ln\frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}+C [/math]

Ответ

[math]\ln\frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}+C[/math]