1883-1
Информация о задаче
Задача №1883 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\frac{e^{2x}dx}{\sqrt[4]{e^x+1}}[/math].
Решение
[dmath] \int\frac{e^{2x}dx}{\sqrt[4]{e^x+1}} =\int\frac{e^x\cdot{e^xdx}}{\sqrt[4]{e^x+1}} =\left[\begin{aligned}&u=e^x+1;\\&du=e^xdx.\end{aligned}\right] =\int\frac{(u-1)du}{\sqrt[4]{u}}=\\ =\int\left(u^{\frac{3}{4}}-u^{-\frac{1}{4}}\right)du =\frac{4u^{\frac{7}{4}}}{7}-\frac{4u^{\frac{3}{4}}}{3}+C =4u^{\frac{3}{4}}\cdot\left(\frac{u}{7}-\frac{1}{3}\right)+C=\\ =4\sqrt[4]{\left(e^x+1\right)^3}\cdot\left(\frac{e^x+1}{7}-\frac{1}{3}\right)+C =4\sqrt[4]{\left(e^x+1\right)^3}\cdot\left(\frac{e^x}{7}-\frac{4}{21}\right)+C [/dmath]
Ответ
[math]4\sqrt[4]{\left(e^x+1\right)^3}\cdot\left(\frac{e^x}{7}-\frac{4}{21}\right)+C[/math]
