Задача №1439
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[4]{x}}dx\).
Решение
\[
\int\frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[4]{x}}dx
=\left|\begin{aligned}& u=\sqrt[12]{x};\,x=u^{12}.\\& dx=12u^{11}du.\end{aligned}\right|
=\int\frac{12u^{17}du}{u^8-u^3}
=12\int\frac{u^{14}du}{u^5-1}
\]
В принципе, здесь несложно разделить многочлен \(u^{14}\), расположенный в числителе, на многочлен \(u^5-1\), находящийся в знаменателе подынтегральной дроби. Однако мне лень рисовать деление многочленов "в столбик", поэтому я поступлю иным образом:
\[
12\int\frac{u^{14}du}{u^5-1}
=12\int\frac{u^{10}\cdot{u^4}du}{u^5-1}
=\frac{12}{5}\cdot\int\frac{\left(u^5\right)^2d\left(u^5\right)}{u^5-1}
=\left|t=u^5\right|=\\
=\frac{12}{5}\cdot\int\frac{t^2dt}{t-1}
=\frac{12}{5}\cdot\int\frac{t^2-1+1}{t-1}dt
=\frac{12}{5}\cdot\int\frac{(t-1)(t+1)+1}{t-1}dt=\\
=\frac{12}{5}\cdot\int\left(t+1+\frac{1}{t-1}\right)dt
=\frac{12}{5}\cdot\left(\frac{t^2}{2}+t+\ln|t-1|\right)+C=\\
=\frac{6u^{10}}{5}+\frac{12u^5}{5}+\frac{12}{5}\cdot\ln\left|u^5-1\right|+C
=\frac{6\sqrt[6]{x^5}}{5}+\frac{12\sqrt[12]{x^5}}{5}+\frac{12}{5}\cdot\ln\left|\sqrt[12]{x^5}-1\right|+C
\]
Ответ:
\(\frac{6\sqrt[6]{x^5}}{5}+\frac{12\sqrt[12]{x^5}}{5}+\frac{12}{5}\cdot\ln\left|\sqrt[12]{x^5}-1\right|+C\)