1882-1
Информация о задаче
Задача №1882 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[4]{x}}dx[/math].
Решение
[dmath] \int\frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[4]{x}}dx =\left|\begin{aligned}&u=\sqrt[12]{x};\,x=u^{12}.\\&dx=12u^{11}du.\end{aligned}\right| =\int\frac{12u^{17}du}{u^8-u^3} =12\int\frac{u^{14}du}{u^5-1} [/dmath]
В принципе, здесь несложно разделить многочлен [math]u^{14}[/math], расположенный в числителе, на многочлен [math]u^5-1[/math], находящийся в знаменателе подынтегральной дроби. Однако мне лень рисовать деление многочленов "в столбик", поэтому я поступлю иным образом:
[dmath] 12\int\frac{u^{14}du}{u^5-1} =12\int\frac{u^{10}\cdot{u^4}du}{u^5-1} =\frac{12}{5}\cdot\int\frac{\left(u^5\right)^2d\left(u^5\right)}{u^5-1} =\left|t=u^5\right|=\\ =\frac{12}{5}\cdot\int\frac{t^2dt}{t-1} =\frac{12}{5}\cdot\int\frac{t^2-1+1}{t-1}dt =\frac{12}{5}\cdot\int\frac{(t-1)(t+1)+1}{t-1}dt=\\ =\frac{12}{5}\cdot\int\left(t+1+\frac{1}{t-1}\right)dt =\frac{12}{5}\cdot\left(\frac{t^2}{2}+t+\ln|t-1|\right)+C=\\ =\frac{6u^{10}}{5}+\frac{12u^5}{5}+\frac{12}{5}\cdot\ln\left|u^5-1\right|+C =\frac{6\sqrt[6]{x^5}}{5}+\frac{12\sqrt[12]{x^5}}{5}+\frac{12}{5}\cdot\ln\left|\sqrt[12]{x^5}-1\right|+C [/dmath]
Ответ
[math]\frac{6\sqrt[6]{x^5}}{5}+\frac{12\sqrt[12]{x^5}}{5}+\frac{12}{5}\cdot\ln\left|\sqrt[12]{x^5}-1\right|+C[/math]
