1880-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1880 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{\sqrt[3]{x}\left(\sqrt[3]{x}-1\right)}[/math].

Решение

[math] \int\frac{dx}{\sqrt[3]{x}\left(\sqrt[3]{x}-1\right)} =\left|\begin{aligned}&u=\sqrt[3]{x};\,x=u^3.\\&dx=3u^2du.\end{aligned}\right| =\int\frac{3u^2du}{u(u-1)} =3\int\frac{udu}{u-1} =3\int\frac{u-1+1}{u-1}du=\\ =3\int\left(1+\frac{1}{u-1}\right)du =3\cdot\left(u+\ln|u-1|\right)+C =3\cdot\left(\sqrt[3]{x}+\ln|\sqrt[3]{x}-1|\right)+C [/math]

Ответ

[math]3\cdot\left(\sqrt[3]{x}+\ln|\sqrt[3]{x}-1|\right)+C[/math]