1879-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1879 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{\sqrt{x}dx}{\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}}[/math].

Решение

[math] \int\frac{\sqrt{x}dx}{\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}} =\left|\begin{aligned}&u=\sqrt[6]{x};\,x=u^6.\\&dx=6u^5du.\end{aligned}\right| =\int\frac{6u^8du}{u^3-u^2} =6\int\frac{u^6du}{u-1} =6\int\frac{u^6-1+1}{u-1}du=\\ =6\int\frac{(u-1)\left(u^2+u+1\right)\left(u^3+1\right)+1}{u-1}du =6\int\left(u^5+u^4+u^3+u^2+u+1+\frac{1}{u-1}\right)du=\\ =u^6+\frac{6u^5}{5}+\frac{3u^4}{2}+2u^3+3u^2+6u+6\ln|u-1|+C=\\ =x+\frac{6\sqrt[6]{x^5}}{5}+\frac{3\sqrt[3]{x^2}}{2}+2\sqrt{x}+3\sqrt[3]{x}+6\sqrt[6]{x}+6\ln\left|\sqrt[6]{x}-1\right|+C [/math]

Ответ

[math]x+\frac{6\sqrt[6]{x^5}}{5}+\frac{3\sqrt[3]{x^2}}{2}+2\sqrt{x}+3\sqrt[3]{x}+6\sqrt[6]{x}+6\ln\left|\sqrt[6]{x}-1\right|+C[/math]