1878-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1878 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{\sqrt{ax+b}+m}[/math].

Решение

При решении этого интеграла будем полагать, что [math]a\neq{0}[/math] и [math]m\neq{0}[/math]. Исследование частных случаев не представляет особого интереса, так как легко сводится к табличным интегралам.

[math] \int\frac{dx}{\sqrt{ax+b}+m} =\left|\begin{aligned}&u=\sqrt{ax+b};\,x=\frac{u^2-b}{a}.\\&dx=\frac{2u}{a}du.\end{aligned}\right| =\frac{2}{a}\int\frac{udu}{u+m} =\frac{2}{a}\int\frac{u+m-m}{u+m}du=\\ =\frac{2}{a}\int\left(1-\frac{m}{u+m}\right)du =\frac{2}{a}\cdot\left(u-m\ln|u+m|\right)+C =\frac{2}{a}\cdot\left(\sqrt{ax+b}-m\ln\left|\sqrt{ax+b}+m\right|\right)+C. [/math]

Ответ

[math]\frac{2}{a}\cdot\left(\sqrt{ax+b}-m\ln\left|\sqrt{ax+b}+m\right|\right)+C[/math]