1877-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1877 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{1+\sqrt[3]{x+1}}[/math].

Решение

[math] \int\frac{dx}{1+\sqrt[3]{x+1}} =\left|\begin{aligned}&u=\sqrt[3]{x+1};\,x=u^3-1.\\&dx=3u^2du.\end{aligned}\right| =\int\frac{3u^2du}{1+u}=\\ =3\int\frac{u^2-1+1}{u+1}du =3\int\frac{(u-1)(u+1)+1}{u+1}du =3\int\left(u-1+\frac{1}{u+1}\right)du=\\ =\frac{3u^2}{2}-3u+3\ln|u+1|+C =\frac{3\sqrt[3]{(x+1)^2}}{2}-3\sqrt[3]{x+1}+3\ln\left|\sqrt[3]{x+1}+1\right|+C [/math]

Ответ

[math]\frac{3\sqrt[3]{(x+1)^2}}{2}-3\sqrt[3]{x+1}+3\ln\left|\sqrt[3]{x+1}+1\right|+C[/math]