Задача №1434
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{dx}{1+\sqrt[3]{x+1}}\).
Решение
\[
\int\frac{dx}{1+\sqrt[3]{x+1}}
=\left[\begin{aligned}& u=\sqrt[3]{x+1};\,x=u^3-1.\\& dx=3u^2du.\end{aligned}\right]
=\int\frac{3u^2du}{1+u}=\\
=3\int\frac{u^2-1+1}{u+1}du
=3\int\frac{(u-1)(u+1)+1}{u+1}du
=3\int\left(u-1+\frac{1}{u+1}\right)du=\\
=\frac{3u^2}{2}-3u+3\ln|u+1|+C
=\frac{3\sqrt[3]{(x+1)^2}}{2}-3\sqrt[3]{x+1}+3\ln\left|\sqrt[3]{x+1}+1\right|+C
\]
Ответ:
\(\frac{3\sqrt[3]{(x+1)^2}}{2}-3\sqrt[3]{x+1}+3\ln\left|\sqrt[3]{x+1}+1\right|+C\)