1875-1

Информация о задаче

Задача №1875 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{\sqrt{x}dx}{x(x+1)}[/math].

Решение

В принципе, этот интеграл можно решить и без замены переменной. Сокращая числитель и знаменатель, будем иметь:

[math] \int\frac{\sqrt{x}dx}{x(x+1)} =\int\frac{dx}{\sqrt{x}(x+1)} =2\int\frac{d(\sqrt{x})}{1+(\sqrt{x})^2} =2\arctg\sqrt{x}+C [/math]

Если осуществить замену, то решение будет таким:

[math] \int\frac{\sqrt{x}dx}{x(x+1)} =\left|\begin{aligned}&u=\sqrt{x};\,x=u^2.\\&dx=2udu.\end{aligned}\right| =2\int\frac{u^2du}{u^2\left(u^2+1\right)}=\\ =2\int\frac{du}{1+u^2} =2\arctg{u}+C =2\arctg\sqrt{x}+C [/math]

Ответ

[math]2\arctg\sqrt{x}+C[/math]