1875-1
Информация о задаче
Задача №1875 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\frac{\sqrt{x}dx}{x(x+1)}[/math].
Решение
В принципе, этот интеграл можно решить и без замены переменной. Сокращая числитель и знаменатель, будем иметь:
[dmath] \int\frac{\sqrt{x}dx}{x(x+1)} =\int\frac{dx}{\sqrt{x}(x+1)} =2\int\frac{d(\sqrt{x})}{1+(\sqrt{x})^2} =2\arctg\sqrt{x}+C [/dmath]
Если осуществить замену, то решение будет таким:
[dmath] \int\frac{\sqrt{x}dx}{x(x+1)} =\left[\begin{aligned}& u=\sqrt{x};\,x=u^2.\\& dx=2udu.\end{aligned}\right] =2\int\frac{u^2du}{u^2\left(u^2+1\right)}=\\ =2\int\frac{du}{1+u^2} =2\arctg{u}+C =2\arctg\sqrt{x}+C [/dmath]
Ответ
[math]2\arctg\sqrt{x}+C[/math]
