Задача №1432
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{\sqrt{x}dx}{x(x+1)}\).
Решение
В принципе, этот интеграл можно решить и без замены переменной. Сокращая числитель и знаменатель, будем иметь:
\[
\int\frac{\sqrt{x}dx}{x(x+1)}
=\int\frac{dx}{\sqrt{x}(x+1)}
=2\int\frac{d(\sqrt{x})}{1+(\sqrt{x})^2}
=2\arctg\sqrt{x}+C
\]
Если осуществить замену, то решение будет таким:
\[
\int\frac{\sqrt{x}dx}{x(x+1)}
=\left[\begin{aligned}& u=\sqrt{x};\,x=u^2.\\& dx=2udu.\end{aligned}\right]
=2\int\frac{u^2du}{u^2\left(u^2+1\right)}=\\
=2\int\frac{du}{1+u^2}
=2\arctg{u}+C
=2\arctg\sqrt{x}+C
\]
Ответ:
\(2\arctg\sqrt{x}+C\)