1872-1

Информация о задаче

Задача №1872 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{x\sqrt{x+1}}[/math].

Решение

[math] \int\frac{dx}{x\sqrt{x+1}} =\left|\begin{aligned}&u=\sqrt{x+1};\,x=u^2-1.\\&dx=2udu.\end{aligned}\right| =\int\frac{2udu}{\left(u^2-1\right)u}du=\\ =2\cdot\int\frac{du}{u^2-1} =\ln\left|\frac{u-1}{u+1}\right|+C =\ln\left|\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1}\right|+C [/math]

Ответ

[math]\ln\left|\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1}\right|+C[/math]