Задача №1428
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{4x+3}{(x-2)^3}dx\).
Решение
В принципе, найти такой интеграл можно и без применения замены переменной. Достаточно использовать следующее преобразование:
\[
\frac{4x+3}{(x-2)^3}
=\frac{4(x-2)+11}{(x-2)^3}
=4(x-2)^{-2}+11(x-2)^{-3}.
\]
Если сделать замену переменной, то решение будет таким:
\[
\int\frac{4x+3}{(x-2)^3}dx
=\left[\begin{aligned}& u=x-2;\,x=u+2.\\& dx=du.\end{aligned}\right]
=\int\frac{4(u+2)+3}{u^3}du=\\
=\int\frac{4u+11}{u^3}du
=\int\left(4u^{-2}+11u^{-3}\right)
=-\frac{4}{u}-\frac{11}{2u^2}+C
=-\frac{4}{x-2}-\frac{11}{2(x-2)^2}+C
\]
Ответ:
\(-\frac{4}{x-2}-\frac{11}{2(x-2)^2}+C\)