1871-1

Информация о задаче

Задача №1871 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{4x+3}{(x-2)^3}dx[/math].

Решение

В принципе, найти такой интеграл можно и без применения замены переменной. Достаточно использовать следующее преобразование:

[math] \frac{4x+3}{(x-2)^3} =\frac{4(x-2)+11}{(x-2)^3} =4(x-2)^{-2}+11(x-2)^{-3}. [/math]

Если сделать замену переменной, то решение будет таким:

[math] \int\frac{4x+3}{(x-2)^3}dx =\left|\begin{aligned}&u=x-2;\,x=u+2.\\&dx=du.\end{aligned}\right| =\int\frac{4(u+2)+3}{u^3}du=\\ =\int\frac{4u+11}{u^3}du =\int\left(4u^{-2}+11u^{-3}\right) =-\frac{4}{u}-\frac{11}{2u^2}+C =-\frac{4}{x-2}-\frac{11}{2(x-2)^2}+C [/math]

Ответ

[math]-\frac{4}{x-2}-\frac{11}{2(x-2)^2}+C[/math]