Задача №1426
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{dx}{1+\sqrt{x+1}}\).
Решение
\[
\int\frac{dx}{1+\sqrt{x+1}}
=\left[\begin{aligned}& u=\sqrt{x+1};\;x=u^2-1.\\& dx=2udu.\end{aligned}\right]
=\int\frac{2udu}{u+1}
=2\int\frac{u+1-1}{u+1}du=\\
=2\int\left(1-\frac{1}{u+1}\right)du
=2u-2\ln|u+1|+C
=2\sqrt{x+1}-2\ln\left(\sqrt{x+1}+1\right)+C.
\]
Ответ:
\(2\sqrt{x+1}-2\ln\left(\sqrt{x+1}+1\right)+C\)