1868-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1868 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int{x^2e^x\sin{x}}dx[/math].

Решение

Для нахождения данного интеграла нам понадобятся пару результатов, полученных ранее: в задаче 1860-1 и в задаче1862-1. Выпишем упомянутые результаты и еще одну формулу, которая получается с их помощью:

[math] \int{e^x\sin{x}}dx =\frac{e^x(\sin{x}-\cos{x})}{2}+C;\; \int{e^x\cos{x}}dx =\frac{e^x(\cos{x}+\sin{x})}{2}+C;\\ \int{e^x(\sin{x}-\cos{x})}dx =\int{e^x\sin{x}}dx-\int{e^x\cos{x}}dx =-e^x\cos{x}+C. [/math]

Перейдём к решению заданного интеграла:

[math] \int{x^2e^x\sin{x}}dx =\left|\begin{aligned}&u=x^2;\;du=2xdx.\\& dv=e^x\sin{x};\;v=\frac{e^x(\sin{x}-\cos{x})}{2}.\end{aligned}\right| =\frac{x^2e^x(\sin{x}-\cos{x})}{2}-\int{xe^x(\sin{x}-\cos{x})}dx=\\ =\left|\begin{aligned}&u=x;\;du=dx.\\& dv=e^x(\sin{x}-\cos{x});\;v=-e^x\cos{x}.\end{aligned}\right| =\frac{x^2e^x(\sin{x}-\cos{x})}{2}-\left(-xe^x\cos{x}+\int{e^x\cos{x}}dx\right)=\\ =\frac{x^2e^x(\sin{x}-\cos{x})}{2}+xe^x\cos{x}-\int{e^x\cos{x}}dx=\\ =\frac{x^2e^x(\sin{x}-\cos{x})}{2}+xe^x\cos{x}-\frac{e^x(\sin{x}+\cos{x})}{2}+C =\frac{e^x\left(\left(x^2-1\right)\sin{x}-(x-1)^2\cos{x}\right)}{2}+C [/math]

Ответ

[math]\frac{e^x\left(\left(x^2-1\right)\sin{x}-(x-1)^2\cos{x}\right)}{2}+C[/math]