Задача №1425
Условие
Найти интеграл \(\int{x^2e^x\sin{x}}dx\).
Решение
Для нахождения данного интеграла нам понадобятся пару результатов, полученных ранее: в задаче 1417 и в задаче 1419. Выпишем упомянутые результаты и еще одну формулу, которая получается с их помощью:
\[
\int{e^x\sin{x}}dx
=\frac{e^x(\sin{x}-\cos{x})}{2}+C;\;
\int{e^x\cos{x}}dx
=\frac{e^x(\cos{x}+\sin{x})}{2}+C;\\
\int{e^x(\sin{x}-\cos{x})}dx
=\int{e^x\sin{x}}dx-\int{e^x\cos{x}}dx
=-e^x\cos{x}+C.
\]
Перейдём к решению заданного интеграла:
\[
\int{x^2e^x\sin{x}}dx
=\left[\begin{aligned}& u=x^2;\;du=2xdx.\\& dv=e^x\sin{x};\;v=\frac{e^x(\sin{x}-\cos{x})}{2}.\end{aligned}\right]
=\frac{x^2e^x(\sin{x}-\cos{x})}{2}-\int{xe^x(\sin{x}-\cos{x})}dx=\\
=\left[\begin{aligned}& u=x;\;du=dx.\\& dv=e^x(\sin{x}-\cos{x});\;v=-e^x\cos{x}.\end{aligned}\right]
=\frac{x^2e^x(\sin{x}-\cos{x})}{2}-\left(-xe^x\cos{x}+\int{e^x\cos{x}}dx\right)=\\
=\frac{x^2e^x(\sin{x}-\cos{x})}{2}+xe^x\cos{x}-\int{e^x\cos{x}}dx=\\
=\frac{x^2e^x(\sin{x}-\cos{x})}{2}+xe^x\cos{x}-\frac{e^x(\sin{x}+\cos{x})}{2}+C
=\frac{e^x\left(\left(x^2-1\right)\sin{x}-(x-1)^2\cos{x}\right)}{2}+C
\]
Ответ:
\(\frac{e^x\left(\left(x^2-1\right)\sin{x}-(x-1)^2\cos{x}\right)}{2}+C\)