1867-1

Информация о задаче

Задача №1867 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{x^2e^xdx}{(x+2)^2}[/math].

Решение

[math] \int\frac{x^2e^xdx}{(x+2)^2} =\left|\begin{aligned}&u=x^2e^x;\;du=(x^2e^x+2xe^x)dx=xe^x(x+2)dx.\\& dv=\frac{dx}{(x+2)^2};\;v=-\frac{1}{x+2}.\end{aligned}\right| =-\frac{x^2e^x}{x+2}+\int{xe^x}dx=\\ =\left|\begin{aligned}&u=x;\;du=dx.\\& dv=e^xdx;\;v=e^x.\end{aligned}\right| =-\frac{x^2e^x}{x+2}+xe^x-\int{e^x}dx =-\frac{x^2e^x}{x+2}+xe^x-e^x+C =\frac{e^x(x-2)}{x+2}+C [/math]

Ответ

[math]\frac{e^x(x-2)}{x+2}+C[/math]