Задача №1424
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{x^2e^xdx}{(x+2)^2}\).
Решение
\[
\int\frac{x^2e^xdx}{(x+2)^2}
=\left[\begin{aligned}& u=x^2e^x;\;du=(x^2e^x+2xe^x)dx=xe^x(x+2)dx.\\& dv=\frac{dx}{(x+2)^2};\;v=-\frac{1}{x+2}.\end{aligned}\right]
=-\frac{x^2e^x}{x+2}+\int{xe^x}dx=\\
=\left[\begin{aligned}& u=x;\;du=dx.\\& dv=e^xdx;\;v=e^x.\end{aligned}\right]
=-\frac{x^2e^x}{x+2}+xe^x-\int{e^x}dx
=-\frac{x^2e^x}{x+2}+xe^x-e^x+C
=\frac{e^x(x-2)}{x+2}+C
\]
Ответ:
\(\frac{e^x(x-2)}{x+2}+C\)