1863-1

Информация о задаче

Задача №1863 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\sin\ln{x}dx[/math].

Решение

[math] \int\sin\ln{x}dx=\left|\begin{aligned}&u=\sin\ln{x};\;du=\frac{\cos\ln{x}}{x}dx.\\&dv=dx;\;v=x.\end{aligned}\right| =x\cdot\sin\ln{x}-\int{x\cdot\frac{\cos\ln{x}}{x}}dx=\\ =x\cdot\sin\ln{x}-\int\cos\ln{x}dx=\left|\begin{aligned}&u=\cos\ln{x};\;du=-\frac{\sin\ln{x}}{x}dx.\\&dv=dx;\;v=x.\end{aligned}\right|=\\ =x\cdot\sin\ln{x}-x\cdot\cos\ln{x}-\int{x\cdot\frac{\sin\ln{x}}{x}}dx =x\cdot\sin\ln{x}-x\cdot\cos\ln{x}-\int\sin\ln{x}dx [/math]

[math] \int\sin\ln{x}dx= x\cdot\sin\ln{x}-x\cdot\cos\ln{x}-\int\sin\ln{x}dx;\; \int\sin\ln{x}dx=\frac{x}{2}\cdot(\sin\ln{x}-\cos\ln{x})+C. [/math]

Ответ

[math]\frac{x}{2}\cdot(\sin\ln{x}-\cos\ln{x})+C[/math]