1863-1
Информация о задаче
Задача №1863 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\sin\ln{x}dx[/math].
Решение
[dmath] \int\sin\ln{x}dx =\left[\begin{aligned}&u=\sin\ln{x};\;du=\frac{\cos\ln{x}}{x}dx.\\&dv=dx;\;v=x.\end{aligned}\right] =x\cdot\sin\ln{x}-\int{x\cdot\frac{\cos\ln{x}}{x}}dx=\\ =x\cdot\sin\ln{x}-\int\cos\ln{x}dx =\left[\begin{aligned}&u=\cos\ln{x};\;du=-\frac{\sin\ln{x}}{x}dx.\\&dv=dx;\;v=x.\end{aligned}\right]=\\ =x\cdot\sin\ln{x}-x\cdot\cos\ln{x}-\int{x\cdot\frac{\sin\ln{x}}{x}}dx =x\cdot\sin\ln{x}-x\cdot\cos\ln{x}-\int\sin\ln{x}dx [/dmath]
[dmath] \int\sin\ln{x}dx= x\cdot\sin\ln{x}-x\cdot\cos\ln{x}-\int\sin\ln{x}dx;\; \int\sin\ln{x}dx=\frac{x}{2}\cdot(\sin\ln{x}-\cos\ln{x})+C. [/dmath]
Ответ
[math]\frac{x}{2}\cdot(\sin\ln{x}-\cos\ln{x})+C[/math]
