Задача №1420
Условие
Найти интеграл \(\int\sin\ln{x}dx\).
Решение
\[
\int\sin\ln{x}dx
=\left[\begin{aligned}& u=\sin\ln{x};\;du=\frac{\cos\ln{x}}{x}dx.\\& dv=dx;\;v=x.\end{aligned}\right]
=x\cdot\sin\ln{x}-\int{x\cdot\frac{\cos\ln{x}}{x}}dx=\\
=x\cdot\sin\ln{x}-\int\cos\ln{x}dx
=\left[\begin{aligned}& u=\cos\ln{x};\;du=-\frac{\sin\ln{x}}{x}dx.\\& dv=dx;\;v=x.\end{aligned}\right]=\\
=x\cdot\sin\ln{x}-x\cdot\cos\ln{x}-\int{x\cdot\frac{\sin\ln{x}}{x}}dx
=x\cdot\sin\ln{x}-x\cdot\cos\ln{x}-\int\sin\ln{x}dx
\]
\[
\int\sin\ln{x}dx=
x\cdot\sin\ln{x}-x\cdot\cos\ln{x}-\int\sin\ln{x}dx;\;
\int\sin\ln{x}dx=\frac{x}{2}\cdot(\sin\ln{x}-\cos\ln{x})+C.
\]
Ответ:
\(\frac{x}{2}\cdot(\sin\ln{x}-\cos\ln{x})+C\)