1862-1
Информация о задаче
Задача №1862 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int{e^{ax}\cos{nx}}dx[/math].
Решение
Если [math]a=n=0[/math], то:
[dmath] \int{e^{ax}\cos{nx}}dx =\int{dx}=x+C. [/dmath]
Если [math]a=0[/math], [math]n\neq{0}[/math], то:
[dmath] \int{e^{ax}\cos{nx}}dx =\int\cos{nx}dx=\frac{\sin{nx}}{n}+C. [/dmath]
Если [math]a\neq{0}[/math], [math]n=0[/math], то:
[dmath] \int{e^{ax}\cos{nx}}dx =\int{e^{ax}}dx =\frac{e^{ax}}{a}+C [/dmath]
Если [math]a\neq{0}[/math], [math]n\neq{0}[/math], то:
[dmath] \int{e^{ax}\cos{nx}}dx =\left[\begin{aligned}&u=e^{ax};\,du=ae^{ax}dx.\\&dv=\cos{nx}dx;\;v=\frac{\sin{nx}}{n}.\end{aligned}\right] =\frac{e^{ax}\sin{nx}}{n}-\frac{a}{n}\int{e^{ax}\sin{nx}}dx=\\ =\left[\begin{aligned}&u=e^{ax};\,du=ae^{ax}dx.\\&dv=\sin{nx}dx;\;v=-\frac{\cos{nx}}{n}.\end{aligned}\right] =\frac{e^{ax}\sin{nx}}{n}-\frac{a}{n}\cdot\left(-\frac{e^{ax}\cos{nx}}{n}+\frac{a}{n}\int{e^{ax}\cos{nx}}dx\right)=\\ =\frac{e^{ax}\sin{nx}}{n}+\frac{ae^{ax}\cos{nx}}{n^2}-\frac{a^2}{n^2}\int{e^{ax}\cos{nx}}dx. [/dmath]
[dmath] \int{e^{ax}\cos{nx}}dx =\frac{e^{ax}\sin{nx}}{n}+\frac{ae^{ax}\cos{nx}}{n^2}-\frac{a^2}{n^2}\int{e^{ax}\cos{nx}}dx;\\ \int{e^{ax}\cos{nx}}dx= \frac{e^{ax}(n\sin{nx}+a\cos{nx})}{n^2+a^2}+C. [/dmath]
Ответ
[math]\frac{e^{ax}(n\sin{nx}+a\cos{nx})}{n^2+a^2}+C[/math]
