1861-1
Информация о задаче
Задача №1861 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int{e^{3x}(\sin{2x}-\cos{2x})}dx[/math].
Решение
[dmath] \int{e^{3x}(\sin{2x}-\cos{2x})}dx =\left[\begin{aligned}&u=e^{3x};\,du=3e^{3x}dx.\\&dv=(\sin{2x}-\cos{2x})dx;\;v=-\frac{\cos{2x}}{2}-\frac{\sin{2x}}{2}=-\frac{\cos{2x}+\sin{2x}}{2}.\end{aligned}\right]=\\ =-\frac{e^{3x}(\cos{2x}+\sin{2x})}{2}+\frac{3}{2}\int{e^{3x}(\cos{2x}+\sin{2x})}dx =\left[\begin{aligned}&u=e^{3x};\,du=3e^{3x}dx.\\&dv=(\cos{2x}+\sin{2x})dx;\;v=\frac{\sin{2x}-\cos{2x}}{2}.\end{aligned}\right]=\\ =-\frac{e^{3x}(\cos{2x}+\sin{2x})}{2}+\frac{3}{2}\cdot\left(\frac{e^{3x}(\sin{2x}-\cos{2x})}{2}-\frac{3}{2}\int{e^{3x}(\sin{2x}-\cos{2x})}dx\right)=\\ =-\frac{e^{3x}(\cos{2x}+\sin{2x})}{2}+\frac{3e^{3x}(\sin{2x}-\cos{2x})}{4}-\frac{9}{4}\int{e^{3x}(\sin{2x}-\cos{2x})}dx. [/dmath]
[dmath] \int{e^{3x}(\sin{2x}-\cos{2x})}dx =-\frac{e^{3x}(\cos{2x}+\sin{2x})}{2}+\frac{3e^{3x}(\sin{2x}-\cos{2x})}{4}-\frac{9}{4}\int{e^{3x}(\sin{2x}-\cos{2x})}dx;\\ \frac{13}{4}\int{e^{3x}(\sin{2x}-\cos{2x})}dx =\frac{e^{3x}(\sin{2x}-5\cos{2x})}{4}+\frac{13}{4}C;\\ \int{e^{3x}(\sin{2x}-\cos{2x})}dx =\frac{e^{3x}(\sin{2x}-5\cos{2x})}{13}+C. [/dmath]
Ответ
[math]\frac{e^{3x}(\sin{2x}-5\cos{2x})}{13}+C[/math]
