1860-1

Информация о задаче

Задача №1860 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int{e^x\sin{x}}dx[/math].

Решение

[math] \int{e^x\sin{x}}dx =\left|\begin{aligned}&u=e^x;\,du=e^xdx.\\&dv=\sin{x}dx;\;v=-\cos{x}.\end{aligned}\right| =-e^x\cos{x}+\int{e^x\cos{x}}dx=\\ =\left|\begin{aligned}&u=e^x;\,du=e^xdx.\\&dv=\cos{x}dx;\;v=\sin{x}.\end{aligned}\right| =-e^x\cos{x}+e^x\sin{x}-\int{e^x\sin{x}}dx [/math]

[math] \int{e^x\sin{x}}dx=e^x\sin{x}-e^x\cos{x}-\int{e^x\sin{x}}dx;\\ 2\int{e^x\sin{x}}dx=e^x\sin{x}-e^x\cos{x}+2C;\;\int{e^x\sin{x}}dx=\frac{e^x(\sin{x}-\cos{x})}{2}+C. [/math]

Ответ

[math]\frac{e^x(\sin{x}-\cos{x})}{2}+C[/math]