Задача №1417
Условие
Найти интеграл \(\int{e^x\sin{x}}dx\).
Решение
\[
\int{e^x\sin{x}}dx
=\left[\begin{aligned}& u=e^x;\,du=e^xdx.\\& dv=\sin{x}dx;\;v=-\cos{x}.\end{aligned}\right]
=-e^x\cos{x}+\int{e^x\cos{x}}dx=\\
=\left[\begin{aligned}& u=e^x;\,du=e^xdx.\\& dv=\cos{x}dx;\;v=\sin{x}.\end{aligned}\right]
=-e^x\cos{x}+e^x\sin{x}-\int{e^x\sin{x}}dx
\]
\[
\int{e^x\sin{x}}dx=e^x\sin{x}-e^x\cos{x}-\int{e^x\sin{x}}dx;\\
2\int{e^x\sin{x}}dx=e^x\sin{x}-e^x\cos{x}+2C;\;\int{e^x\sin{x}}dx=\frac{e^x(\sin{x}-\cos{x})}{2}+C.
\]
Ответ:
\(\frac{e^x(\sin{x}-\cos{x})}{2}+C\)