1858-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1858 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int(\arcsin{x})^2dx[/math].

Решение

[math] \int(\arcsin{x})^2dx =\left|\begin{aligned}&u=(\arcsin{x})^2;\,du=\frac{2\arcsin{x}dx}{\sqrt{1-x^2}}.\\&dv=dx;\;v=x.\end{aligned}\right| =x\cdot(\arcsin{x})^2-\int\frac{2x\arcsin{x}dx}{\sqrt{1-x^2}}=\\ =\left|\begin{aligned}&u=\arcsin{x};\,du=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.\\&dv=\frac{2xdx}{\sqrt{1-x^2}}=-\left(1-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(1-x^2\right);\;v=-2\sqrt{1-x^2}.\end{aligned}\right|=\\ =x\cdot(\arcsin{x})^2-\left(-2\arcsin{x}\sqrt{1-x^2}+\int{2dx}\right) =x\cdot(\arcsin{x})^2+2\arcsin{x}\sqrt{1-x^2}-2x+C [/math]

Ответ

[math]x\cdot(\arcsin{x})^2+2\arcsin{x}\sqrt{1-x^2}-2x+C[/math]