Задача №1415
Условие
Найти интеграл \(\int(\arcsin{x})^2dx\).
Решение
\[
\int(\arcsin{x})^2dx
=\left[\begin{aligned}& u=(\arcsin{x})^2;\,du=\frac{2\arcsin{x}dx}{\sqrt{1-x^2}}.\\& dv=dx;\;v=x.\end{aligned}\right]
=x\cdot(\arcsin{x})^2-\int\frac{2x\arcsin{x}dx}{\sqrt{1-x^2}}=\\
=\left[\begin{aligned}& u=\arcsin{x};\,du=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.\\& dv=\frac{2xdx}{\sqrt{1-x^2}}=-\left(1-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(1-x^2\right);\;v=-2\sqrt{1-x^2}.\end{aligned}\right]=\\
=x\cdot(\arcsin{x})^2-\left(-2\arcsin{x}\sqrt{1-x^2}+\int{2dx}\right)
=x\cdot(\arcsin{x})^2+2\arcsin{x}\sqrt{1-x^2}-2x+C
\]
Ответ:
\(x\cdot(\arcsin{x})^2+2\arcsin{x}\sqrt{1-x^2}-2x+C\)