1857-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1857 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{\ln^3{x}dx}{\sqrt{x^5}}[/math]

Решение

[math] \int\frac{\ln^3{x}dx}{\sqrt{x^5}} =\int{x^{-\frac{5}{2}}}\ln^3{x}dx =\left|\begin{aligned} & u=\ln^3{x};\;du=\frac{3\ln^2{x}dx}{x}.\\ & dv=x^{-\frac{5}{2}};\;v=-\frac{2}{3}x^{-\frac{3}{2}}. \end{aligned}\right| =-\frac{2\ln^3{x}}{3\sqrt{x^3}}+2\cdot\int{x^{-\frac{5}{2}}}\ln^2{x}dx=\\ =\left|\begin{aligned} & u=\ln^2{x};\;du=\frac{2\ln{x}dx}{x}.\\ & dv=x^{-\frac{5}{2}};\;v=-\frac{2}{3}x^{-\frac{3}{2}}. \end{aligned}\right| =-\frac{2\ln^3{x}}{3\sqrt{x^3}}-\frac{4\ln^2{x}}{3\sqrt{x^3}}+\frac{8}{3}\cdot\int{x^{-\frac{5}{2}}}\ln{x}dx=\\ =\left|\begin{aligned} & u=\ln{x};\;du=\frac{dx}{x}.\\ & dv=x^{-\frac{5}{2}};\;v=-\frac{2}{3}x^{-\frac{3}{2}}. \end{aligned}\right| =-\frac{2\ln^3{x}}{3\sqrt{x^3}}-\frac{4\ln^2{x}}{3\sqrt{x^3}}-\frac{16\ln{x}}{9\sqrt{x^3}}+\frac{16}{9}\cdot\int{x^{-\frac{5}{2}}}dx=\\ =-\frac{2\ln^3{x}}{3\sqrt{x^3}}-\frac{4\ln^2{x}}{3\sqrt{x^3}}-\frac{16\ln{x}}{9\sqrt{x^3}}-\frac{32}{27\sqrt{x^3}}+C =-\frac{2}{3x\sqrt{x}}\cdot\left(\ln^3{x}+2\ln^2{x}+\frac{8\ln{x}}{3}+\frac{16}{9}\right)+C [/math]

Ответ

[math]-\frac{2}{3x\sqrt{x}}\cdot\left(\ln^3{x}+2\ln^2{x}+\frac{8\ln{x}}{3}+\frac{16}{9}\right)+C[/math]