1856-1
Информация о задаче
Задача №1856 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\frac{\ln^3x}{x^2}dx[/math].
Решение
[dmath] \int\frac{\ln^3x}{x^2}dx =\left[\begin{aligned}&u=\ln^3x;\,du=\frac{3\ln^2{x}dx}{x}.\\&dv=\frac{dx}{x^2};\;v=-\frac{1}{x}.\end{aligned}\right] =-\frac{\ln^3x}{x}+3\int\frac{\ln^2x}{x^2}dx =\left[\begin{aligned}&u=\ln^2x;\,du=\frac{2\ln{x}dx}{x}.\\&dv=\frac{dx}{x^2};\;v=-\frac{1}{x}.\end{aligned}\right]=\\ =-\frac{\ln^3x}{x}+3\cdot\left(-\frac{\ln^2x}{x}+2\int\frac{\ln{x}}{x^2}dx\right) =-\frac{\ln^3x}{x}-\frac{3\ln^2x}{x}+6\int\frac{\ln{x}}{x^2}dx =\left[\begin{aligned}&u=\ln{x};\,du=\frac{dx}{x}.\\&dv=\frac{dx}{x^2};\;v=-\frac{1}{x}.\end{aligned}\right]=\\ =-\frac{\ln^3x}{x}-\frac{3\ln^2x}{x}+6\cdot\left(-\frac{\ln{x}}{x}+\int\frac{dx}{x^2}\right) =-\frac{\ln^3x}{x}-\frac{3\ln^2x}{x}+6\cdot\left(-\frac{\ln{x}}{x}-\frac{1}{x}\right)+C=\\ =-\frac{\ln^3x}{x}-\frac{3\ln^2x}{x}-\frac{6\ln{x}}{x}-\frac{6}{x}+C =\frac{-\ln^3x-3\ln^2x-6\ln{x}-6}{x}+C [/dmath]
Ответ
[math]\frac{-\ln^3x-3\ln^2x-6\ln{x}-6}{x}+C[/math]
