Задача №1412
Условие
Найти интеграл \(\int\ln^2xdx\).
Решение
\[
\int\ln^2xdx
=\left[\begin{aligned}& u=\ln^2x;\,du=\frac{2\ln{x}dx}{x}.\\& dv=dx;\;v=x.\end{aligned}\right]
=x\ln^2x-2\int\ln{x}dx
=\left[\begin{aligned}& u=\ln{x};\,du=\frac{dx}{x}.\\& dv=dx;\;v=x.\end{aligned}\right]=\\
=x\ln^2x-2\cdot\left(x\ln{x}-\int{dx}\right)
=x\ln^2x-2\cdot\left(x\ln{x}-x\right)+C
=x\ln^2x-2x\ln{x}+2x+C
\]
Ответ:
\(x\cdot(\ln^2x-2\ln{x}+2)+C\)