1854-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1854 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int{x^2\cos^2{x}}dx[/math].

Решение

[math] \int{x^2\cos^2{x}}dx =\int{x^2\cdot\frac{1+\cos{2x}}{2}}dx =\frac{1}{2}\int{x^2}dx+\frac{1}{2}\int{x^2\cos{2x}}dx=\\ =\frac{x^3}{6}+\frac{1}{2}\int{x^2\cos{2x}}dx =\left|\begin{aligned}&u=x^2;\,du=2xdx.\\&dv=\cos{2x}dx;\;v=\frac{\sin{2x}}{2}.\end{aligned}\right| =\frac{x^3}{6}+\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{x^2\sin{2x}}{2}-\int{x\sin{2x}}dx\right)=\\ =\frac{x^3}{6}+\frac{x^2\sin{2x}}{4}-\frac{1}{2}\int{x\sin{2x}}dx =\left|\begin{aligned}&u=x;\,du=dx.\\&dv=\sin{2x}dx;\;v=-\frac{\cos{2x}}{2}.\end{aligned}\right|=\\ =\frac{x^3}{6}+\frac{x^2\sin{2x}}{4}-\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{x\cos{2x}}{2}+\frac{1}{2}\int{\cos{2x}dx}\right) =\frac{x^3}{6}+\frac{x^2\sin{2x}}{4}+\frac{x\cos{2x}}{4}-\frac{\sin{2x}}{8}+C [/math]

Ответ

[math]\frac{x^3}{6}+\frac{x^2\sin{2x}}{4}+\frac{x\cos{2x}}{4}-\frac{\sin{2x}}{8}+C[/math]