1853-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1853 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int{x^3\sin{x}}dx[/math].

Решение

[math] \int{x^3\sin{x}}dx =\left|\begin{aligned}&u=x^3;\,du=3x^2dx.\\&dv=\sin{x}dx;\;v=-\cos{x}.\end{aligned}\right| =-x^3\cos{x}+3\int{x^2\cos{x}}dx=\\ =\left|\begin{aligned}&u=x^2;\,du=2xdx.\\&dv=\cos{x}dx;\;v=\sin{x}.\end{aligned}\right| =-x^3\cos{x}+3\cdot\left(x^2\sin{x}-2\int{x\sin{x}}dx\right)=\\ =-x^3\cos{x}+3x^2\sin{x}-6\int{x\sin{x}}dx =\left|\begin{aligned}&u=x;\,du=dx.\\&dv=\sin{x}dx;\;v=-\cos{x}.\end{aligned}\right|=\\ =-x^3\cos{x}+3x^2\sin{x}-6\cdot\left(-x\cos{x}+\int{\cos{x}}dx\right) =-x^3\cos{x}+3x^2\sin{x}+6x\cos{x}-6\sin{x}+C [/math]

Ответ

[math]-x^3\cos{x}+3x^2\sin{x}+6x\cos{x}-6\sin{x}+C[/math]