1852-1

Информация о задаче

Задача №1852 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int{x^2a^x}dx[/math].

Решение

Если [math]a=1[/math], то [math]\int{x^2a^x}dx=\int{x^2}dx=\frac{x^3}{3}+C[/math]. Если [math]a>0[/math] и [math]a\neq{1}[/math], то:

[math] \int{x^2a^x}dx =\left|\begin{aligned}&u=x^2;\,du=2xdx.\\&dv=a^xdx;\;v=\frac{a^x}{\ln{a}}.\end{aligned}\right| =\frac{x^2a^x}{\ln{a}}-\frac{2}{\ln{a}}\int{xa^x}dx=\\ =\left|\begin{aligned}&u=x;\,du=dx.\\&dv=a^xdx;\;v=\frac{a^x}{\ln{a}}.\end{aligned}\right| =\frac{x^2a^x}{\ln{a}}-\frac{2}{\ln{a}}\cdot\left(\frac{xa^x}{\ln{a}}-\frac{1}{\ln{a}}\int{a^x}dx\right)=\\ =\frac{x^2a^x}{\ln{a}}-\frac{2}{\ln{a}}\cdot\left(\frac{xa^x}{\ln{a}}-\frac{1}{\ln{a}}\cdot\frac{a^x}{\ln{a}}\right)+C =\frac{x^2a^x}{\ln{a}}-\frac{2xa^x}{\ln^2{a}}+\frac{2a^x}{\ln^3{a}}+C [/math]

Ответ

[math]\frac{a^x}{\ln{a}}\cdot\left(x^2-\frac{2x}{\ln{a}}+\frac{2}{\ln^2{a}}\right)+C[/math]