1851-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1851 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int{x^3e^x}dx[/math].

Решение

[math] \int{x^3e^x}dx =\left|\begin{aligned}&u=x^3;\,du=3x^2dx.\\&dv=e^xdx;\;v=e^x.\end{aligned}\right| =x^3e^x-3\int{x^2e^x}dx =\left|\begin{aligned}&u=x^2;\,du=2xdx.\\&dv=e^xdx;\;v=e^x.\end{aligned}\right|=\\ =x^3e^x-3\cdot\left(x^2e^x-2\int{xe^x}dx\right) =x^3e^x-3x^2e^x+6\int{xe^x}dx =\left|\begin{aligned}&u=x;\,du=dx.\\&dv=e^xdx;\;v=e^x.\end{aligned}\right|=\\ =x^3e^x-3x^2e^x+6\cdot\left(xe^x-\int{e^x}dx\right) =x^3e^x-3x^2e^x+6xe^x-6e^x+C =e^x\left(x^3-3x^2+6x-6\right)+C [/math]

Ответ

[math]\int{x^3e^x}dx=e^x\left(x^3-3x^2+6x-6\right)+C[/math]