Задача №1408
Условие
Найти интеграл \(\int{x^3e^x}dx\).
Решение
\[
\int{x^3e^x}dx
=\left[\begin{aligned}& u=x^3;\,du=3x^2dx.\\& dv=e^xdx;\;v=e^x.\end{aligned}\right]
=x^3e^x-3\int{x^2e^x}dx
=\left[\begin{aligned}& u=x^2;\,du=2xdx.\\& dv=e^xdx;\;v=e^x.\end{aligned}\right]=\\
=x^3e^x-3\cdot\left(x^2e^x-2\int{xe^x}dx\right)
=x^3e^x-3x^2e^x+6\int{xe^x}dx
=\left[\begin{aligned}& u=x;\,du=dx.\\& dv=e^xdx;\;v=e^x.\end{aligned}\right]=\\
=x^3e^x-3x^2e^x+6\cdot\left(xe^x-\int{e^x}dx\right)
=x^3e^x-3x^2e^x+6xe^x-6e^x+C
=e^x\left(x^3-3x^2+6x-6\right)+C
\]
Ответ:
\(\int{x^3e^x}dx=e^x\left(x^3-3x^2+6x-6\right)+C\)