1849-1
Информация о задаче
Задача №1849 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int{x^2}\ln(1+x)dx[/math].
Решение
[dmath] \int{x^2}\ln(1+x)dx =\left[\begin{aligned}& u=\ln(1+x);\,du=\frac{dx}{1+x}.\\& dv=x^2dx,v=\frac{x^3}{3}.\end{aligned}\right] =\frac{x^3\ln(1+x)}{3}-\frac{1}{3}\int\frac{x^3}{x+1}dx=\\ =\frac{x^3\ln(1+x)}{3}-\frac{1}{3}\int\frac{x^3+1-1}{x+1}dx =\frac{x^3\ln(1+x)}{3}-\frac{1}{3}\int\frac{(x+1)\left(x^2-x+1\right)-1}{x+1}dx=\\ =\frac{x^3\ln(1+x)}{3}-\frac{1}{3}\int\left(x^2-x+1-\frac{1}{x+1}\right)dx =\frac{x^3\ln(1+x)}{3}-\frac{x^3}{9}+\frac{x^2}{6}-\frac{x}{3}+\frac{\ln(x+1)}{3}+C [/dmath]
Ответ
[math]\frac{x^3\ln(1+x)}{3}-\frac{x^3}{9}+\frac{x^2}{6}-\frac{x}{3}+\frac{\ln(x+1)}{3}+C[/math]
