1848-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1848 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{x^3dx}{\sqrt{1+x^2}}[/math].

Решение

[math] \int\frac{x^3dx}{\sqrt{1+x^2}} =\left|\begin{aligned}&u=x^2;\,du=2xdx.\\&dv=\frac{xdx}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{2}\left(1+x^2\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(1+x^2\right);\,v=\sqrt{x^2+1}.\end{aligned}\right|=\\ =x^2\sqrt{x^2+1}-\int\sqrt{x^2+1}\cdot{2x}dx =x^2\sqrt{x^2+1}-\int\left(x^2+1\right)^{\frac{1}{2}}d\left(x^2+1\right)=\\ =x^2\sqrt{x^2+1}-\frac{2\sqrt{\left(x^2+1\right)^3}}{3}+C [/math]

Ответ

[math]x^2\sqrt{x^2+1}-\frac{2\sqrt{\left(x^2+1\right)^3}}{3}+C[/math]