1847-1

Информация о задаче

Задача №1847 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{x^2dx}{\left(1+x^2\right)^2}[/math].

Решение

[math] \int\frac{x^2dx}{\left(1+x^2\right)^2} =\left|\begin{aligned}&u=x;\,du=dx.\\&dv=\frac{xdx}{\left(1+x^2\right)^2}=\frac{1}{2}\left(1+x^2\right)^{-2}d\left(1+x^2\right);\,v=-\frac{1}{2\left(1+x^2\right)}.\end{aligned}\right|=\\ =-\frac{x}{2\left(1+x^2\right)}+\frac{1}{2}\int\frac{dx}{1+x^2} =-\frac{x}{2\left(1+x^2\right)}+\frac{1}{2}\arctg{x}+C [/math]

Ответ

[math]-\frac{x}{2\left(1+x^2\right)}+\frac{1}{2}\arctg{x}+C[/math]