1846-1

Информация о задаче

Задача №1846 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\ln\left(x^2+1\right)dx[/math].

Решение

[math] \int\ln\left(x^2+1\right)dx =\left|\begin{aligned}&u=\ln\left(x^2+1\right);\,du=\frac{2xdx}{x^2+1}.\\&dv=dx;\,v=x.\end{aligned}\right|=\\ =x\ln\left(x^2+1\right)-2\int\frac{x^2dx}{x^2+1} =x\ln\left(x^2+1\right)-2\int\frac{x^2+1-1}{x^2+1}dx=\\ =x\ln\left(x^2+1\right)-2\int\left(1-\frac{1}{x^2+1}\right)dx =x\ln\left(x^2+1\right)-2x+2\arctg{x}+C [/math]

Ответ

[math]x\ln\left(x^2+1\right)-2x+2\arctg{x}+C[/math]