Задача №1402
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{\arcsin\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}dx\).
Решение
\[
\int\frac{\arcsin\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}dx
=\left[\begin{aligned}& u=\arcsin\sqrt{x};\,du=\frac{dx}{2\sqrt{x}\cdot\sqrt{1-x}}.\\& dv=\frac{dx}{\sqrt{1-x}}=-(1-x)^{-\frac{1}{2}}d(1-x);\,v=-2\sqrt{1-x}.\end{aligned}\right]=\\
=-2\sqrt{1-x}\cdot\arcsin\sqrt{x}+\int\frac{dx}{\sqrt{x}}
=-2\sqrt{1-x}\cdot\arcsin\sqrt{x}+\int{x^{-\frac{1}{2}}}dx
=-2\sqrt{1-x}\cdot\arcsin\sqrt{x}+2\sqrt{x}+C
\]
Ответ:
\(-2\sqrt{1-x}\cdot\arcsin\sqrt{x}+2\sqrt{x}+C\)