1844-1

Информация о задаче

Задача №1844 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{x\arctg{x}dx}{\sqrt{1+x^2}}[/math].

Решение

[math] \int\frac{x\arctg{x}dx}{\sqrt{1+x^2}} =\left|\begin{aligned}&u=\arctg{x};\,du=\frac{dx}{1+x^2}.\\&dv=\frac{xdx}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{2}\left(1+x^2\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(1+x^2\right);\,v=\sqrt{1+x^2}.\end{aligned}\right|=\\ =\sqrt{1+x^2}\cdot\arctg{x}-\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}} =\sqrt{1+x^2}\cdot\arctg{x}-\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C [/math]

Ответ

[math]\sqrt{1+x^2}\cdot\arctg{x}-\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C[/math]