Задача №1401
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{x\arctg{x}dx}{\sqrt{1+x^2}}\).
Решение
\[
\int\frac{x\arctg{x}dx}{\sqrt{1+x^2}}
=\left[\begin{aligned}& u=\arctg{x};\,du=\frac{dx}{1+x^2}.\\& dv=\frac{xdx}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{2}\left(1+x^2\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(1+x^2\right);\,v=\sqrt{1+x^2}.\end{aligned}\right]=\\
=\sqrt{1+x^2}\cdot\arctg{x}-\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}
=\sqrt{1+x^2}\cdot\arctg{x}-\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C
\]
Ответ:
\(\sqrt{1+x^2}\cdot\arctg{x}-\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C\)