1842-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1842 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int{x}\cos^2xdx[/math].

Решение

[math] \int{x}\cos^2xdx =\frac{1}{2}\int{x}\left(1+\cos{2x}\right)dx =\frac{1}{2}\int{x}dx+\frac{1}{2}\int{x}\cos{2x}dx=\\ =\frac{x^2}{4}+\frac{1}{2}\int{x}\cos{2x}dx =\left|\begin{aligned}&u=x;\,du=dx.\\&dv=\cos{2x}dx;\,v=\frac{\sin{2x}}{2}.\end{aligned}\right|=\\ =\frac{x^2}{4}+\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{x\sin{2x}}{2}-\frac{1}{2}\int\sin{2x}dx\right) =\frac{x^2}{4}+\frac{x\sin{2x}}{4}+\frac{\cos{2x}}{8}+C [/math]

Ответ

[math]\frac{x^2}{4}+\frac{x\sin{2x}}{4}+\frac{\cos{2x}}{8}+C[/math]