Задача №1399
Условие
Найти интеграл \(\int{x}\cos^2xdx\).
Решение
\[
\int{x}\cos^2xdx
=\frac{1}{2}\int{x}\left(1+\cos{2x}\right)dx
=\frac{1}{2}\int{x}dx+\frac{1}{2}\int{x}\cos{2x}dx=\\
=\frac{x^2}{4}+\frac{1}{2}\int{x}\cos{2x}dx
=\left[\begin{aligned}& u=x;\,du=dx.\\& dv=\cos{2x}dx;\,v=\frac{\sin{2x}}{2}.\end{aligned}\right]=\\
=\frac{x^2}{4}+\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{x\sin{2x}}{2}-\frac{1}{2}\int\sin{2x}dx\right)
=\frac{x^2}{4}+\frac{x\sin{2x}}{4}+\frac{\cos{2x}}{8}+C
\]
Ответ:
\(\frac{x^2}{4}+\frac{x\sin{2x}}{4}+\frac{\cos{2x}}{8}+C\)