1840-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1840 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{\arcsin{x}}{\sqrt{x+1}}dx[/math].

Решение

[math] \int\frac{\arcsin{x}}{\sqrt{x+1}}dx =\left|\begin{aligned}&u=\arcsin{x};\,du=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.\\&dv=\frac{dx}{\sqrt{x+1}}=(x+1)^{-\frac{1}{2}}d(x+1);\,v=2\sqrt{1+x}.\end{aligned}\right|=\\ =2\sqrt{x+1}\arcsin{x}-2\int\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x^2}}dx =2\sqrt{x+1}\arcsin{x}-2\int\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{(1-x)(1+x)}}dx=\\ =2\sqrt{x+1}\arcsin{x}-2\int\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x^2}}dx =2\sqrt{x+1}\arcsin{x}-2\int\frac{dx}{\sqrt{1-x}}=\\ =2\sqrt{x+1}\arcsin{x}+2\int(1-x)^{-\frac{1}{2}}d(1-x) =2\sqrt{x+1}\arcsin{x}+4\sqrt{1-x}+C [/math]

Ответ

[math]2\sqrt{x+1}\arcsin{x}+4\sqrt{1-x}+C[/math]