1839-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1839 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\arctg\sqrt{x}dx[/math].

Решение

[math] \int\arctg\sqrt{x}dx =\left|\begin{aligned}&u=\arctg{\sqrt{x}};\,du=\frac{dx}{2\sqrt{x}(1+x)}.\\&dv=dx;\,v=x.\end{aligned}\right| =x\arctg\sqrt{x}-\frac{1}{2}\int\frac{xdx}{\sqrt{x}(1+x)}=\\ =x\arctg\sqrt{x}-\int\frac{xd(\sqrt{x})}{x+1} =x\arctg\sqrt{x}-\int\frac{x+1-1}{x+1}d(\sqrt{x})=\\ =x\arctg\sqrt{x}-\int\left(1-\frac{1}{1+\left(\sqrt{x}\right)^2}\right)d(\sqrt{x}) =x\arctg\sqrt{x}-\sqrt{x}+\arctg\sqrt{x}+C=\\ =(x+1)\arctg\sqrt{x}-\sqrt{x}+C [/math]

Ответ

[math](x+1)\arctg\sqrt{x}-\sqrt{x}+C[/math]