1837-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1837 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int{x}\arctg{x}dx[/math].

Решение

[math] \int{x}\arctg{x}dx =\left|\begin{aligned}&u=\arctg{x};\,du=\frac{dx}{1+x^2}.\\&dv=xdx;\,v=\frac{x^2}{2}.\end{aligned}\right|=\\ =\frac{x^2\arctg{x}}{2}-\frac{1}{2}\int\frac{x^2dx}{1+x^2} =\frac{x^2\arctg{x}}{2}-\frac{1}{2}\int\frac{1+x^2-1}{1+x^2}dx=\\ =\frac{x^2\arctg{x}}{2}-\frac{1}{2}\int\left(1-\frac{1}{1+x^2}\right)dx =\frac{x^2\arctg{x}}{2}-\frac{x}{2}+\frac{\arctg{x}}{2}+C =\frac{\left(x^2+1\right)\arctg{x}}{2}-\frac{x}{2}+C [/math]

Ответ

[math]\frac{\left(x^2+1\right)\arctg{x}}{2}-\frac{x}{2}+C[/math]