Задача №1393
Условие
Найти интеграл \(\int{x}^n\ln{x}\,dx\). (\(n\neq{-1}\))
Решение
\[
\int{x}^n\ln{x}\,dx
=\left[\begin{aligned}& u=\ln{x};\,du=\frac{dx}{x}.\\& dv=x^ndx;\,v=\frac{x^{n+1}}{n+1}.\end{aligned}\right]=\\
=\frac{x^{n+1}\ln{x}}{n+1}-\frac{1}{n+1}\int{x^n}dx
=\frac{x^{n+1}\ln{x}}{n+1}-\frac{x^{n+1}}{(n+1)^2}+C
=\frac{x^{n+1}}{n+1}\cdot\left(\ln{x}-\frac{1}{n+1}\right)+C
\]
Ответ:
\(\frac{x^{n+1}}{n+1}\cdot\left(\ln{x}-\frac{1}{n+1}\right)+C\)